Invariante Ketten in Algebra und diskreter Geometrie

• Antragsteller: Professor Dr. Tim Römer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539867266

In der Algebra, Geometrie, Kombinatorik und Anwendungsgebieten dieser Disziplinen gibt es in vielen interessanten Situationen das Phänomen, dass Objekte von Interesse in aufsteigenden Ketten A(n) auftreten und zusätzlich geeignete sowie kompatible Gruppenoperationen auf diesen Objekten existieren. Beispiele hierfür sind generische determinantielle Ideale in Polynomringen mit immer mehr Variablen oder Polytopen bzw. Kegel in reellen Vektorräumen mit größer werdenden Dimensionen. Oft gibt es ein Grenzobjekt B der A(n), welches hilfreich sein kann, um Eigenschaften der A(n) zu untersuchen und umgekehrt. In den beiden Beispielen ist die Vereinigung der Elemente der Kette ein solches Grenzobjekt (in geeigneter Weise definiert). Drei Fragen sind dann insbesondere von Bedeutung: (1) Bestimme das Grenzverhalten von interessanten Eigenschaften der A(n); (2) Untersuche entsprechende Eigenschaften von B; (3) Zeigen die Zusammenhänge zwischen den betrachteten Eigenschaften von A(n) und denen von B. Eine Antwort auf (1) kann als interessante lokale Information und eine auf (2) als eine Art globale Information betrachtet werden. (3) ist dann als ein lokal-global Prinzip zu betrachten, welches man verstehen möchte. In den vergangenen Jahren wurde dieser Ansatz äußerst erfolgreich auf verschiedene Situationen in den oben genannten Bereichen angewandt und auch z.B. beim maschinellen Lernen, der Optimierung und der Darstellungstheorie. Zu den Ergebnissen gehören beispielsweise äquivariante Versionen von klassischen Sätzen von Hilbert in der kommutativen Algebra und der klassischen algebraischen Geometrie, wie etwa der Hilbertsche Basissatz. In der polyedrischen Geometrie wurden äquivariante Versionen des Satzes von Caratheodory und des Lemmas von Gordan bewiesen. Darüber hinaus wurde auch ein erster Ansatz für eine äquivariante Aussage zum Satz von Minkowski-Weyl aufgestellt und gezeigt. Das übergeordnete Ziel über das Projekt hinaus ist eine systematische Entwicklung der Grundlagen der kommutativen Algebra und der polyedrischen Geometrie „bis auf Symmetrie“. In diesem Antrag wird ein Rahmenwerk betrachtet, den der Antragsteller zusammen mit seinen Mitautoren in einer Reihe von Arbeiten entwickelt hat, um die bekannte Theorie zu erweitern. Genauer soll untersucht werden: (a) die Rationalität einer äquivarianten Ehrhart-Reihe einer symmetrischen Kette rationaler Polytope; (b) eine äquivariante Version des Satzes von Minkowski-Weyl (auf „vollständige“ Art und Weise); (c) der Satz über unabhängige Mengen in der algebraischen Statistik aus rein kombinatorischer Sicht; (d) Primärzerlegungen symmetrischer Ketten (monomialer) Ideale in Polynomringen. Die Ziele dieses Antrags stehen im Mittelpunkt von vier der neun zentralen Themen des Schwerpunktprogramms. Genauer sind dies: kommutative Algebra, Konvexität, Abzählungen und Gitterpunkte. Anwendungen werden auch in anderen Bereichen des SPP erwartet, wie zum Beispiel in der (algebraischen) Statistik.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien