Lokale Ehrhart-Theorie und ihre Synergien

• Antragsteller: Professor Dr. Benjamin Nill
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539867500

Das Studium der Gitterpolytope (Polytope, deren Eckpunkte ganzzahlige Koordinaten haben) ist ein sehr aktives Gebiet der algebraischen, enumerativen und geometrischen Kombinatorik, in dem sich viele verschiedene Disziplinen auf synergetische Weise treffen: diskrete, konvexe und metrische Geometrie, Geometrie der Zahlen, lineare Optimierung, algebraische Geometrie, kommutative Algebra, symplektische Geometrie, theoretische Physik, ... .Ehrhart-Theorie kann als das Studium des h*-Polynoms beschrieben werden, einer linearen Transformation des Ehrhart-Polynoms, der fundamentalen Invarianten, die Gitterpunkte in Vielfachen von Gitterpolytopen zählt. Wie Karu und Stanley gezeigt haben, kann das h*-Polynom mit Hilfe von torischen g-Polynomen in nichtnegative lokale Beiträge der Seiten zerlegt werden. Der wichtigste lokale Beitrag des Polytopes selbst wird in einem grundlegenden Artikel von Katz und Stapledon als lokales h*-Polynom bezeichnet. Es wurde bereits unter anderer Bezeichnung von Borisov, Batyrev, Mavlyutov und Schepers bei der Berechnung der stringy Hodge-Zahlen von Calabi-Yau vollständigen Durchschnitten benutzt und ist im Fall von Gittersimplizes auch als Box-Polynom bekannt. In einer neueren Arbeit, die Methoden aus dem bahnbrechenden Beweis des g-Theorems verwendet, zeigen Adiprasito, Papadakis, Petrotou, und Steinmeyer, dass das lokale h*-Polynom von IDP-Polytopen einen unimodalen Koeffizientenvektor hat. Mit diesem Projekt etablieren wir lokale Ehrhart-Theorie als aktuelles Forschungsgebiet für die Untersuchung lokaler h*-Polynome von Gitterpolytope und ihrer reichen und vielfältigen Synergien. Wir planen, die Komplexität lokaler h*-Vektoren zu untersuchen und Konstruktionen zu erforschen, die lokale h*-Polynome invariant lassen. Ein besonders faszinierendes Phänomen ist, dass lokale h*-Polynome Null sein können. Solche Gitterpolytope werden als dünne Polytope bezeichnet und wurden erstmals von Gelfand, Kapranov und Zelevinsky untersucht. Wir planen, kombinatorische und geometrische Einschränkungen für dünne Polytope zu finden und eine interessante natürliche Klasse von dünnen Polytopen zu untersuchen. Es ist unser Ziel, bestehende und neue Beziehungen der lokalen Ehrhart-Theorie zu hypergeometrischen Motiven, Spiegelsymmetrie, dualen defekten Varietäten, Kodierungstheorie, Arrangements von Hyperebenen, metrischer Geometrie, nachbarschaftlichen Polytopen und TU-Matrizen zu nutzen und zu erweitern. Wir planen dazu, Datenbanken von Gitterpolytopen und ihren lokalen h*-Polynomen zu erstellen und Gitterpolytope mit speziellen lokal-ehrharttheoretischen Eigenschaften zu klassifizieren. Ein wichtiger Aspekt ist die Anwendung von Algorithmen des maschinellen Lernens, um zu untersuchen, ob Invarianten und Eigenschaften der (lokalen) Ehrhart-Theorie effizient bestimmt werden können. Unser Ziel ist es, diese Werkzeuge in Computerexperimenten auf der Suche nach interessanten Beispielen und Gegenbeispielen zu verwenden.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien