Tropische Lineare Algebra neu gedacht: Gebäude, Bimatroide, und Anwendungen

• Antragsteller: Professor Dr. Martin Ulirsch, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539867663

Die tropische Geometrie ist eine dequantisierte Version der klassischen algebraischen Geometrie, in der man einen kombinatorischen stückweise linearen Schatten von Kompaktifizierungen und Degenerationen algebraischer Varietäten studiert. Einer ihrer erfolgreichsten und aktivsten Teile ist die tropische lineare Algebra, ein Überbegriff, der für die vielen verschiedenen Instanzen des Konzepts der Linearität in der tropischen Geometrie steht. Dieses Gebiet reicht vom Studium von Matrizen über der min-plus-Algebra, das aus der Optimierung kommt, bis zur Geometrie (bewerteter) Matroide. Es umfasst die erst kürzlich entdeckten Resultate in der kombinatorischen Hodge-Theorie von Matroiden, aber auch die Geometrie der tropischen Grassmannschen und Dressischen mit ihren vielen Anwendungen, zum Beispiel in der Phylogenetik. Die zentralen Ziele dieses Projekts sind: (1) Die Entwicklung neuer Grundlagen der tropischen linearen Algebra mit Methoden aus der Geometrie affiner Gebäude, der Kombinatorik (bewerteter) Bimatroide und der Algebra von Hyperstrukturen. (2) Die Erweiterung der tropischen linearen Algebra über den Typ A_n hinaus, um sowohl bewertete Coxeter-Matroide als auch affine Gebäude zu integrieren. (3) Die Erkundung von verschiedenen Anwendungen der tropischen linearen Algebra, mit einem Schwerpunkt auf der kombinatorischen Hodge-Theorie von Bimatroiden und Coxeter-Matroiden, auf der noch nicht vollständig entwickelten Geometrie von tropischen Vektorbündeln und auf dem Dequantisierungsprozess in der kategoriellen Quantentheorie.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien