K-Theorie und Orthogonalkomplexe

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Haase
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539974215

Kombinatorische Schnitttheorie ist inzwischen ein etabliertes und aktives Forschungsfeld, welches algebraische Geometrie und Kombinatorik verbindet. Auf der einen Seite ist es sehr wichtig, kombinatorische Werkzeuge zu entwickeln, um algebraische Varietäten zu studieren, da überproportional viele Räume in der algebraischen Geometrie (wie auch in der kommutativen Algebra, in der Darstellungstheorie, in der mathematischen Physik) eine explizite kombinatorische Struktur aufweisen. Auf der anderen Seite ist es seit Stanleys Beweis von McMullens g-Vermutung offensichtlich, welch weitreichenden Einfluss algebraisch geometrische Methoden in der Kombinatorik haben. Dies wurde kürzlich durch die bahnbrechende Arbeit zur Heron-Rota-Welsh log-Konkavitäts-Vermutung von Adiprasito-Huh-Katz unterstrichen. Der Durchbruch, der in dieser Arbeit gelang war es, Techniken aus der Schnitttheorie in die kombinatorische Situation von Matroiden zu übersetzen. Der K-Ring einer algebraischen Varietät ist eine verfeinerte Version der Schnitttheorie. Ähnlich wie diese wird sie aktiv für kombinatorische Probleme benutzt. Jedoch lässt sich die derzeitige Situation in der K-Theorie mit der der Schnitttheorie vor Adiprasito-Huh-Katz vergleichen. Der Anwendungsbereich ist auf Situationen beschränkt, die ein algebraisch geometrisches Modell besitzen. Wir schlagen vor, das Bild insofern zu vervollständigen, dass wir K-theoretische Konstruktionen zu rein kombinatorischen Situationen verallgemeinern. Zwei Ansatzpunkte unseres Antrags sind die Theorie der Pukhlikov-Khovanskii-Algebren, welche die Schnitt- bzw. die K-Theorie großer Klassen algebraischer Varietäten modellieren, sowie die Theorie der Normalenkomplexe, die konvexe Polytope für die Schnitttheorie von Matroiden verallgemeinern. Wir hoffen, unsere Ziele zu erreichen, indem wir diese beiden Ansätze verbinden.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien
• Internationaler Bezug: Schweiz
• Partnerorganisation: Schweizerischer Nationalfonds (SNF)
• Kooperationspartner: Dr. Leonid Monin