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SFB 1481:  Sparsity und singuläre Strukturen

Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung seit 2022
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 442047500
 
Mathematische Forschung ist mit immer komplexeren Problemen konfrontiert: kompliziertere Modelle, mehr Daten, Hochdimensionalität. Diese Entwicklung betrifft sowohl theoretische Analyse als auch rechnergestützte Ansätze. Komplexitätsabschätzungen belegen, dass bestimmte numerische Probleme nicht allein durch höhere Rechenleistung lösbar sind; vielmehr ist die geschickte Ausnutzung der Problemstruktur unverzichtbar. In dieser Initiative setzen wir auf die Betrachtung von Sparsity und singulären Strukturen als konzeptionelle Leitlinien, um durch signifikante Komplexitätsreduktion Probleme beherrschbar zu machen. Sparsity ist hier so verstanden, dass die effektive Komplexität eines Problems gegenüber der scheinbaren stark reduziert ist, weil Darstellungen existieren, bezüglich derer das mathematische Objekt gut mit einer kontrollierten Anzahl von Parametern approximiert werden kann. Diese können dann für mathematische Analyse oder die Entwicklung effizienter numerischer Verfahren genutzt werden. Sparsity in diesem Sinn ist eine intrinsische Eigenschaft eines Problems, analog zu Regularität. Dies ist besonders in hohen Dimensionen relevant, wo klassische Regularitätsbegriffe von beschränktem Nutzen sind. Es ist empirisch belegt, dass Sparsity in diesem Sinn in vielen Situationen auftritt. Unsere Forschung ist geleitet von der Idee, dass Sparsity einhergeht mit einer Konzentration von Information, die effiziente Darstellungen möglich macht. In diesem Sinne ist hier der Begriff der singulären Strukturen zu verstehen, nämlich als die Träger von Information, oft Mengen von niedrigerer Dimension oder kleinem Maß, die das globale Verhalten bestimmen. In der ersten Finanzierungsperiode haben wir gezeigt, wie der Fokus auf Sparsity und singuläre Strukturen zu neuen mathematischen Einsichten und effizienten numerischen Ansätzen führen kann. Untersucht wurden unter anderem tiefe neuronale Netze, Optimierungsverfahren wie proximale Methoden, Sparsity-induzierende Regularisierungen in der Informationsverarbeitung, der Effekt von niedrigdimensionalen singulären Strukturen auf das globale Verhalten von PDG-Lösungen, und die effiziente Rekonstruktion von Signalen aus Messungen. In der zweiten Finanzierungsperiode werden wir unsere Vision von Sparsity und singulären Strukturen als neues Paradigma für das Verständnis von hochkomplexen Problemen vorantreiben, sei es im maschinellen Lernen, quantenphysikalischen Anwendungen, oder hochdimensionaler Datenverarbeitung. Angesichts der enormen Geschwindigkeit des technischen Fortschritts muss die Mathematik neue Werkzeuge und konzeptuelle Rahmen entwickeln, die helfen können, diese Technologien zu verstehen, zu handhaben und weiterzuentwickeln. Mit einem geschärften Fokus, neuen Kooperationen und der Expertise neuer Projektleiter*innen ist dieser SFB in einer hervorragenden Ausgangslage, um das Streben nach mathematischer Exzellenz mit nachhaltigen Beiträgen zu grundlegender Mathematik und ihren Anwendungen zu verbinden.
DFG-Verfahren Sonderforschungsbereiche
Internationaler Bezug Großbritannien, USA

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Beteiligte Institution University of South Carolina
 
 

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