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TRR 388:  Raue Analysis, stochastische Dynamik und verwandte Gebiete

Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung seit 2024
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 516748464
 
Die stochastische Dynamik baut auf der Wahrscheinlichkeitstheorie und der stochastischen Analyse von Itô auf, um die Entwicklung von Systemen unter dem Einfluss des Zufalls zu untersuchen. Dies nahm großen Einfluss auf zahlreiche Gebiete, u.a. statistische Physik, Finanzmathematik, Quantifizierung der Ungewissheit, Quantenfeldtheorie, mathematische Biologie und Wirtschaftswissenschaften. Die raue Analysis hingegen steht für aktuelle Durchbrüche in der Mathematik, basiered auf Lyons’s Theorie der rauen Pfade. Ursprünglich motiviert durch Robustheitsbetrachtungen in komplexen stochastischen Systemen, bietet die raue Analysis eine nichtlineare Erweiterung der Distributionentheorie, die für das Verständnis singulärer stochastischer Dynamiken und ihrer möglichen Renormierungen sowie für die Erfassung nichtlinearer Effekte von Signalen entscheidend ist. Dabei führte die raue Analyse in jüngster Zeit zu tiefgreifenden mathematischen Strukturen mit signifikanten geometrischen und algebraischen Aspekten. Gemeinsam bilden die stochastische Dynamik und die raue Analysis die Grundlage für diesen Transregio SFB. Mit einem intensiven Zusammenspiel von Analysis, Algebra/Geometrie und Wahrscheinlichkeitstheorie, mit eng verwandten angewandten Themen wie Statistik, robuste Modellierung unter Ungewissheit, stochastische Kontrolltheorie und mathematische Finanzen, besteht unser übergreifende Ziel darin, die gegenseitigen Wechselwirkungen mit der rauen Analysis zu fördern. Um dies zu erreichen, haben wir die folgenden zentralen Fragen identifiziert, die uns leiten werden. (i) Singuläre Dynamik - Wie können langfristige/große stochastische Effekte in der singulären Dynamik berücksichtigt werden? (ii) Robustheit - Wie hängen komplexe stochastische Systeme vom spezifizierten Rauschen ab? (iii) Wie verstehen wir Pfade, und wie sollten wir sie verstehen? (iv) Welche Rolle spielt die Markovianität in rauen, stochastischen und singulären Dynamiken? Unsere Antworten auf diese übergreifenden Fragen führen uns zu rauen und stochastischen (partiellen) Differentialgleichungen (z. B. Verständnis von universellen Objekten in der statistischen Physik, 'KPZ-Fixpunkt', Robustheit und Quantifizierung von Unsicherheiten, Beziehungen zu optimalem Transport), zu verwandten algebraischer Strukturen für Statistik und hochdimensionale Wahrscheinlichkeit (z.B. Signaturen), zu robusten und effizienten Statistiken für dynamisch spezifizierte nichtlineare stochastische Prozesse; bis hin zur Verwendung rauer Strukturen in der stochastischen Kontrolltheorie und der Finanzmathematik (z.B. raue Volatilität). Das Gebiet der rauen Analysis hat sich bisher als weitgehend eigenständigen Theorie entwickelt. Unter dem Motto "Den Erfolg des Itô-Kalküls wiederholen!" stellen wir uns eine Zukunft vor, in der diese Ideen die große Gemeinschaft der Wahrscheinlichkeitsrechnung, einschließlich der Finanzmathematik und Statistik, tiefgreifend beeinflussen.
DFG-Verfahren Transregios

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Antragstellende Institution Technische Universität Berlin
 
 

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