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TRR 326:  Geometrie und Arithmetik uniformisierter Strukturen (GAUS)

Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung seit 2021
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 444845124
 
Uniformisierung ist eines der zentralen Konzepte der modernen Mathematik: komplizierte geometrische Objekte werden durch einfachere ersetzt, ohne dabei die lokale Struktur zu verändern. Die globale Information wird in der Wirkung einer Symmetriegruppe aufgehoben. Diese Übersetzung der Komplexität in eine andere Sprache eröffnet neue Perspektiven für das Studium der ursprünglichen Objekte. Ein aktives u. erfolgreiches Forschungsgebiet bedient sich dieses Prinzips, um die Geometrie und Arithmetik algebraischer Varietäten zu verstehen. Das Konzept der Uniformisierung ist vielfältig: Automorphe Formen entstehen als Funktionen, die mit den Symmetrien kompatibel sind. Galoisdarstellungen, die aus der modernen Zahlentheorie nicht wegzudenken sind, kodieren arithmetische Symmetrien. Überlagerungen spiegeln die Wege eines Raumes wider und dies führt zu topologischen und kohomologischen Invarianten. Motive und Homotopietheorie stellen Werkzeuge bereit, um diese algebraischen und topologischen Invarianten zu approximieren. Im Paralleluniversum der positiven Charakteristik bereichert die Frobenius-Symmetrie die Geometrie. Das spektakuläre Konzept der Prismen schlägt eine Brücke zwischen positiver Charakteristik und p-adisch analytischem Kontext und stellt so die Frobenius-Symmetrie auch für klassische Fragen der Uniformisierung bereit. Der SFB/TRR spielt in allen Gebieten der Arithmetik und Geometrie eine führende Rolle, in denen sich Uniformisierung als entscheidende Struktur herausstellt. Dabei verfolgen wir zweierlei Ziele: Wir wollen die Technik der Uniformisierung weiterentwickeln. Außerdem wollen wir Uniformisierung auf zentrale geometrische u. arithmetische Fragen anwenden, etwa auf die globale Geometrie von Modulräumen und Shimura-Varietäten, auf enumerative Geometrie, auf die arithmetische Komplexität von Symmetriegruppen und auf das Zusammenspiel von Geometrie und Galoisdarstellungen. Kernbereiche des SFB/TRR sind: (A) Modulräume und automorphe Formen, (B) Galoisdarstellungen und étale Invarianten, (C) Kohomologische Strukturen und Degeneration in positiver Charakteristik. Die Aktivitäten in Darmstadt, Frankfurt und Heidelberg haben bereits zu signifikanten Fortschritten in aktuellen Bereichen der Arithmetischen Algebraischen Geometrie geführt, etwa im Kudla-Programm, bei Vertexoperatoralgebren, bei lokalen Modellen von Shimura-Varietäten, im lokalen Langlands-Programm, in anabelscher Geometrie, in der Iwasawa-Theorie und in p-adischer nichtabelscher Hodgetheorie. Aus einem LOEWE-Schwerpunkt in Darmstadt/Frankfurt und einer DFG-Forschungsgruppe in Darmstadt/Heidelberg hat sich eine Gruppe von international anerkannten u. gut vernetzten Experten zusammengeschlossen und durch strategische Neuberufungen weiterentwickelt. In der 2. Phase wird uns dies ermöglichen, innerhalb der geschaffenen professionellen Rahmenbedingungen zu weiteren spannenden Forschungsfragen zur Geometrie und Arithmetik uniformisierter Strukturen aufzubrechen.
DFG-Verfahren Transregios

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Antragstellende Institution Goethe-Universität Frankfurt am Main
 
 

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